根式的四則運算

直覺:把 $\sqrt{2}$ 當成一個「數字字母」:它可以乘、除、加減,規則與多項式很像,只是 $(\sqrt{2})^2$ 會變回 2。

規則($a$、$b$ 為正數):$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$;分母有根號要「有理化」——同乘 $\sqrt{b}$,或分母是 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ 時同乘共軛 $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$,利用平方差讓根號消失。乘法公式照用:$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$。

算例:$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$;$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。

為什麼重要:二次方程式的公式解、特殊直角三角形的邊長、高中三角函數值,都要能熟練地整理根式。