首頁 › 國中 › 國中 7 年級

質因數分解與公因倍數

國中 7 年級 · 數與量

觀念

直覺:質數是整數的「原子」,任何大於 1 的正整數都能唯一拆成質數的乘積。拆開來看,兩數的公因數、公倍數就一目了然。

規則:短除法從最小質數開始除。最大公因數取「共同質因數的最低次」,最小公倍數取「所有質因數的最高次」; $\gcd \times \text{lcm} =$ 兩數之積。正因數個數 = 各指數加 1 後相乘。

算例: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ,正因數有 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 個; $\gcd(12, 18) = 6$ , $\text{lcm}(12, 18) = 36$ 。

為什麼重要:約分、通分、因式分解、找公車同時發車的時間,背後都是這套工具。

求 $54$ 與 $48$ 的最大公因數。

看解法與答案

先做質因數分解: $54 = 2 \times 3^{3}$ , $48 = 2^{4} \times 3$ 。

取兩數共同的質因數,每個取較小的次方: $2 \times 3 = 6$ 。

驗算: $54 = 6 \times 9$ , $48 = 6 \times 8$ ,剩下的 $9$ 與 $8$ 互質,沒有更大的公因數。所以最大公因數是 $6$ 。

答案:

6

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。