平面向量

向量是「有方向的量」,用分量 $(x,y)$ 表示後,加減與係數積都是逐分量運算。內積 $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 把「夾角」變成算術:兩個非零向量內積為 0 就是垂直;$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$;$\vec a$ 在非零向量 $\vec b$ 上的正射影是 $\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b$。

例:$(1,2)\cdot(3,1)=5$,$|\vec a|=\sqrt5$、$|\vec b|=\sqrt{10}$,$\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$,夾角 $45^\circ$。平行的判斷是分量成比例 $x_1y_2=x_2y_1$。

向量是物理(力、速度)、電腦圖學與機器學習(資料點就是高維向量,相似度就是內積)的基本語言。