矩陣運算|高中11年級|數學學院

觀念

矩陣是數字的長方形表格,加減與係數積是逐元素做;乘法則是「列乘行」: $AB$ 的第 $i$ 列第 $j$ 行元素是 $A$ 的第 $i$ 列與 $B$ 的第 $j$ 行的內積,所以 $A$ 的行數必須等於 $B$ 的列數,且一般 $AB\ne BA$ 。

例: $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ 。 $A^2=AA$ 不是把每個元素平方。

矩陣把聯立方程式、線性變換、轉移機率(馬可夫鏈)、影像處理全部寫成同一種運算,是線性代數與資料科學的核心物件。

設 $A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$ 、 $B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ ,求 $AB$ (矩陣用 1,2;3,4 的格式填)。

看解法與答案

$AB$ 的第 $i$ 列第 $j$ 行元素 $c_{ij}$ = $A$ 的第 $i$ 列與 $B$ 的第 $j$ 行做內積(列乘行)。

第 1 列(用 $A$ 的第 1 列): $c_{11} = (-3)(3) + (0)(2) = -9$ 、 $c_{12} = (-3)(3) + (0)(-1) = -9$ 。

第 2 列(用 $A$ 的第 2 列): $c_{21} = (-3)(3) + (3)(2) = -3$ 、 $c_{22} = (-3)(3) + (3)(-1) = -12$ 。

得 $AB = \begin{pmatrix} -9 & -9 \\ -3 & -12 \end{pmatrix}$ 。

答案:

\left[\begin{matrix}-9 & -9\\-3 & -12\end{matrix}\right]

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