反矩陣與行列式|高中11年級|數學學院

觀念

二階行列式 $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ 告訴你矩陣「能不能反轉」: $\det\ne0$ 時反矩陣 $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ (主對角線互換、副對角線變號),滿足 $AA^{-1}=I$ 。 $\det=0$ 時沒有反矩陣,對應的聯立方程式不是恰有一解。

例: $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ , $\det A=1$ , $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$ 。解 $AX=B$ 就是 $X=A^{-1}B$ 。

反矩陣是「解方程」的矩陣版本;行列式的幾何意義(面積倍率)在線性變換與克拉瑪公式中再度出現。

例題

求 $A = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$ 的反矩陣 $A^{-1}$ (矩陣用 1,2;3,4 的格式填,元素可為最簡分數)。

看解法與答案

$\det A = (4)(-4) - (-4)(-1) = -20 \ne 0$ ,反矩陣存在。

公式 $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ :主對角線互換、副對角線變號,得 $\dfrac{1}{-20}\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ 。

每個元素除以 $-20$ : $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{20} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$ 。

答案:

\left[\begin{matrix}\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]

用在哪裡

密碼希爾密碼用 2×2 矩陣加密字母對,解密要乘反矩陣,所以行列式必須和 26 互質才解得回來。
商業產業關聯分析用 $(I-A)^{-1}$ 推算各產業要生產多少才能滿足最終需求,主計總處的產業關聯表就是這個模型。
工程機械手臂轉到奇異姿態時雅可比矩陣行列式為 0、沒有反矩陣,末端在某些方向就是動不了。

插畫

學習路徑

先學會

矩陣運算高中 11 年級

學完可以接著學

克拉瑪公式高中 12 年級
三階行列式高中 12 年級
矩陣與線性變換高中 12 年級

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