矩陣與線性變換

$2\times2$ 矩陣乘上直行向量 $(x,y)$ 就是平面上的線性變換:旋轉 $\theta$ 是 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$,對 $x$ 軸鏡射是 $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$,對 $y=x$ 鏡射是 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$。任何圖形經變換後面積變成原來的 $|\det A|$ 倍;連續做兩個變換就是矩陣相乘。

例:$(3,1)$ 逆時針轉 $90^\circ$ 得 $(-1,3)$;$\det\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}=6$,面積放大 6 倍。

電腦圖學、機器人運動與資料降維(PCA)都是線性變換的語言。