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轉移矩陣與馬可夫鏈

高中 12 年級 · 資料與不確定性

觀念

狀態之間的轉移機率排成矩陣 $P$ ,目前狀態分布寫成行向量 $\vec v$ (第 $j$ 行是「從第 $j$ 個狀態出發」),經一步變成 $P\vec v$ , $n$ 步是 $P^n\vec v$ ;轉移機率都是正數時,長期會趨向唯一的穩定分布(滿足 $P\vec v=\vec v$ )。

例:晴→晴 0.8、雨→晴 0.4,穩定分布晴天比例 $\dfrac{2}{3}$ 。

這是天氣、顧客流失、網頁排名(PageRank)等隨機過程的入門模型。

例題

某地通勤族的狀態只有「騎 YouBike」與「搭公車」兩種,每天依下列機率轉移:騎 YouBike→騎 YouBike $0.9$ 、騎 YouBike→搭公車 $0.1$ ;搭公車→騎 YouBike $0.3$ 、搭公車→搭公車 $0.7$ 。寫成轉移矩陣(第 $j$ 行是「從第 $j$ 個狀態出發」) $P = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix}$ 。已知今天是「騎 YouBike」,求後天是「搭公車」的機率(用小數)。

看解法與答案

經過兩步,中間(明天)可能是「騎 YouBike」或「搭公車」,兩條路徑各自相乘再相加:

「騎 YouBike→騎 YouBike→搭公車」的機率 $0.9 \times 0.1$ ,「騎 YouBike→搭公車→搭公車」的機率 $0.1 \times 0.7$ 。

相加: $0.9 \times 0.1 + 0.1 \times 0.7 = 0.16$ 。

也就是 $P^2$ 第 2 列第 1 行的元素。

答案:

0.16

用在哪裡

電腦Google 早期的 PageRank 把網頁連結當成轉移機率,穩定分布就是每個網頁的重要度。
商業電信業每月有 3% 用戶轉去對手、對手有 2% 轉進來,用轉移矩陣算出長期市占會停在哪裡。
金融信評機構公布的信用評等轉移矩陣,乘三次就估得出 BBB 級公司三年後掉到垃圾級的機率。
交易把盤勢分成多頭、空頭、盤整三種狀態,用歷史轉移機率估計明天仍是多頭的機率。

插畫

學習路徑

先學會

矩陣運算高中 11 年級
古典與條件機率高中 11 年級

互動練習在本機版

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。