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緊緻性

大四 · 拓樸

觀念

緊緻 (compact):每個開覆蓋都有有限子覆蓋。在 $\mathbb{R}^n$ 中,Heine–Borel 定理說緊緻 ⟺ 有界閉集;在一般度量空間則等價於「每個序列都有收斂子序列」。

緊緻是「有限性」的拓樸替身:緊緻集上的連續函數有最大最小值、一致連續;緊緻集的連續像仍緊緻。極值定理、Heine–Cantor、Arzelà–Ascoli(函數族的緊緻性)都是它的化身,最佳化理論裡「解存在」的證明幾乎都靠它。

在 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{R}^2$ 的標準拓樸下,集合閉圓盤 $x^2+y^2\le 4$ 是不是緊緻的?(填「是」或「否」)

看解法與答案

Heine–Borel: $\mathbb{R}^n$ 中緊緻 ⟺ 有界且閉;兩個條件都要檢查。

閉圓盤 $x^2+y^2\le 4$ :有界閉集,Heine–Borel ⟹ 緊緻。

所以答案是「是」。

答案: 是

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