線性獨立與相依的證明|大學一年級|數學學院

觀念

向量 $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k$ 線性獨立的定義: $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}$ 只有零解。

證獨立:設線性組合為零,逐分量列出齊次方程組,用消去法解出全部係數為 $0$ (向量個數等於維度、係數矩陣是方陣時,也可用行列式不為 $0$ 判斷)。證相依:直接找出一組不全為零的係數,例如把某個向量寫成其他向量的組合,再逐分量驗算。函數或多項式空間則用「對所有 $x$ 成立」,代特殊值或比較係數。常見漏洞是只說「看起來不平行」。

例: $(1,2)$ 、 $(3,4)$ 。 $s+3t=0$ 、 $2s+4t=0$ ,消去得 $-2s=0$ ,所以 $s=t=0$ ,線性獨立。

例題

證明: $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $\mathbf{v}_1=(-3, 2, 2)$ 、 $\mathbf{v}_2=(0, 1, 2)$ 、 $\mathbf{v}_3=(0, 0, -3)$ 線性獨立。

看參考證明

設 $s\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2+u\mathbf{v}_3=\mathbf{0}$ ,逐分量列方程。

第一分量: $-3s=0$ ,所以 $s=0$ 。

第二分量: $2s+t=0$ ,代入 $s=0$ 剩 $t=0$ ,所以 $t=0$ 。

第三分量: $2s+2t-3u=0$ ,代入 $s=t=0$ 剩 $-3u=0$ ,所以 $u=0$ 。

只有零解,所以三個向量線性獨立。

結論:

\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3

線性獨立

用在哪裡

投資若某檔 ETF 的報酬是組合內其他幾檔的線性組合,資產就線性相依,共變異數矩陣不可逆,最佳化會失敗。
AI迴歸特徵若線性相依(例如同時放公分與公尺身高),係數無法唯一決定,訓練前要刪掉多餘特徵。

插畫

學習路徑

先學會

線性獨立大一

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