中間值定理證有根|大學一年級|數學學院

觀念

中間值定理: $f$ 在 $[a,b]$ 上連續, $k$ 介於 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間,則存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=k$ 。取 $k=0$ 就是勘根形式: $f(a)$ 、 $f(b)$ 異號,則存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$ 。

用它證「方程式在某區間有根」的三步:(1) 把方程式移項成 $f(x)=0$ 並說明 $f$ 在閉區間上連續(多項式處處連續);(2) 實際算出兩端點的函數值,指出一正一負;(3) 引用定理。要證至少兩根,就找兩個不相交的區間各用一次。常見漏洞是忘了說連續,或端點值算錯。

例: $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 有根: $f(0)=-1<0$ 、 $f(1)=1>0$ , $f$ 連續,由中間值定理得證。

用中間值定理證明:方程式 $x^{3}-5x+6=0$ 在區間 $(-3,-2)$ 內至少有一個實根。

看參考證明

令 $f(x)=x^{3}-5x+6$ 。 $f$ 是多項式,在實數上處處連續,特別在閉區間 $[-3,-2]$ 上連續。

算端點值: $f(-3)=-6$ , $f(-2)=8$ ,一正一負。

$0$ 介於 $f(-3)$ 與 $f(-2)$ 之間,由中間值定理,存在 $c\in(-3,-2)$ 使 $f(c)=0$ 。

這個 $c$ 就是方程式在 $(-3,-2)$ 內的實根。

結論:

x^{3}-5x+6=0

在

(-3,-2)

內至少有一個實根

金融債券殖利率是讓現金流折現值等於價格的利率;折現值隨利率連續遞減,中間值定理保證這個利率存在。
程式二分法求根每次把區間砍半並保持兩端異號,從長度 1 的區間開始跑 20 次,區間長度剩 $2^{-20}$ ,不到百萬分之一;每一輪區間內有根,依據就是中間值定理。

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