均勻分布

連續均勻分布 (uniform distribution) $U(a,b)$ 的密度函數在 $[a,b]$ 上是常數 $\frac{1}{b-a}$,任何子區間的機率只跟長度成比例:$P(c<X<d) = \frac{d-c}{b-a}$。連續型的單點機率永遠是 0,所以 $<$ 與 $\le$ 沒差。

$E[X] = \frac{a+b}{2}$(中點),$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$——那個 12 來自 $\int x^2$ 的計算,是常考的陷阱數字。

算例:$U(0,10)$,$P(2<X<5) = 0.3$;$P(X>7\mid X>4) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$(條件機率把區間縮到 $(4,10)$)。

均勻分布是「完全無知」的模型,也是所有隨機模擬的起點:電腦先產生 $U(0,1)$ 亂數,再用反函數法轉成任何想要的分布(蒙地卡羅方法)。