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卜瓦松分布

大二 · 機率統計

觀念

00.10.20.30123456789P(X = k)λ = 3 = E[X] = Var(X)

卜瓦松分布 (Poisson distribution) 描述「固定時間/空間內稀有事件的發生次數」:平均率 λ\lambda,P(X=k)=e−λλkk!P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} 特色是 E[X]=Var(X)=λE[X] = \text{Var}(X) = \lambda。

它是二項分布 n→∞n\to\infty、p→0p\to0、np=λnp = \lambda 固定的極限——很多次機會、每次機率很小。算例:客服每小時平均 3 通電話,一小時內 0 通 =e−3≈0.05= e^{-3}\approx0.05;至多 1 通 =e−3(1+3)=4e−3= e^{-3}(1 + 3) = 4e^{-3}。

Poisson 過程還有個漂亮性質:事件之間的等待時間服從指數分布。放射性衰變計數、網站每秒請求數、保險理賠件數、DNA 突變數,都用它建模;統計上的 Poisson 迴歸就是對計數資料做迴歸。

例題

X∼Poisson(λ=2)X\sim\text{Poisson}(\lambda = 2),求 P(X=3)P(X = 3)(答案可含 e,如 9e^(-3)/2)。

看解法與答案

Poisson 公式:P(X=k)=e−λλkk!P(X=k) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},代 λ=2\lambda = 2、k=3k = 3。

算數字部分:23=82^{3} = 8,3!=63! = 6,86=43\dfrac{8}{6} = \frac{4}{3}。

所以 P(X=3)=43 e−2P(X=3) = \frac{4}{3}\,e^{-2}。

答案: 43e2\frac{4}{3 e^{2}}

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