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分離變數法

大二 · 微分方程

觀念

微分方程 (differential equation) 描述「變化率與狀態的關係」,解它是找出滿足關係的函數。最簡單的一類是可分離變數 (separable):能寫成 $g(y)\,dy = h(x)\,dx$ ,兩邊各自積分即可,再用初始條件定常數。

算例: $y' = ky$ (變化率與現量成正比)→ $\frac{dy}{y} = k\,dx$ → $\ln|y| = kx + C$ → $y = Ae^{kx}$ ( $A = \pm e^C$ ; $A = 0$ 對應 $y = 0$ 這個解,所以 $A$ 可取任意實數); $y(0) = 5$ 得 $y = 5e^{kx}$ 。 $k>0$ 是指數成長(人口、複利), $k<0$ 是衰減(放射性、牛頓冷卻)。 $y' = x/y$ 給出 $y^2 - x^2 = C$ ,解曲線是雙曲線族。

積分後常得到隱式解,能解出 $y$ 就解,不能就留著。邏輯斯蒂方程 $y' = ky(1 - y/M)$ 也可分離(用部分分式),給出 S 形成長曲線。

分離變數是一切 ODE 解法的起點;看到微分方程先問「能分離嗎」。

例題

解初值問題 $\dfrac{dy}{dx} = y$ , $y(0) = 1$ ,求 $y(x)$ (如 3e^(2x))。

看解法與答案

分離變數 (separation of variables):把 $y$ 移到左邊、 $x$ 留在右邊, $\dfrac{dy}{y} = dx$ 。

兩邊積分: $\ln|y| = x + C$ ,取指數 $|y| = e^C e^{x}$ ,寫成 $y = Ae^{x}$ ( $A = \pm e^C$ )。

代初始條件 $y(0) = 1$ : $Ae^0 = A = 1$ ,所以 $y = e^{x}$ 。這是指數成長模型。

答案:

e^{x}

用在哪裡

金融連續複利 $\frac{dA}{dt}=rA$ 分離變數得 $A=A_0e^{rt}$ ,年利率 2% 要約 34.7 年本金才翻倍。
醫療藥物在體內按 $\frac{dC}{dt}=-kC$ 排除,分離變數解出半衰期,醫師據此決定每 8 小時服一次藥。

插畫

分離變數法:情境插畫

分離變數法:例題插畫

學習路徑

先學會

代換積分大一
指對三角函數微分大一

學完可以接著學

一階線性方程大二

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