二階常係數齊次方程

$ay'' + by' + cy = 0$ 的解法:猜 $y = e^{rx}$,代入得特徵方程 $ar^2 + br + c = 0$。依根的型態分三種:

• 相異實根 $r_1, r_2$:$y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$。
• 重根 $r$:$y = (c_1 + c_2x)e^{rx}$(第二個解要多乘 $x$)。
• 共軛複根 $\alpha\pm\beta i$:$y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$,由歐拉公式而來。

兩個常數由 $y(0)$ 與 $y'(0)$ 決定。算例:$y'' - 5y' + 6y = 0$,$r = 2, 3$;$y'' + 4y = 0$,$r = \pm2i$,$y = c_1\cos2x + c_2\sin2x$ 是簡諧振盪;$y'' + 2y' + y = 0$ 重根 $-1$。

這正是彈簧–質量–阻尼系統 $mx'' + cx' + kx = 0$ 與 RLC 電路的方程:根的實部決定衰減、虛部決定振盪頻率,判別式的正負對應過阻尼/臨界/欠阻尼。與線性遞迴的解法完全平行。