秩與零核|大學一年級|數學學院

觀念

矩陣的秩 (rank) 是列梯形中非零列的數目,也等於線性獨立的列向量個數、線性獨立的行向量個數,以及行空間的維度——它衡量矩陣「真正有多少維的資訊」。零核空間 (null space) 是 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的所有解,其維度叫 nullity。

秩-零度定理 (rank–nullity theorem):對 $m\times n$ 矩陣, $\text{rank}A + \text{nullity}A = n$ (行數 = 變數個數)。直覺: $n$ 維輸入空間裡,一部分被壓成 0(零核),剩下的維度構成輸出(秩)。

算例: $3\times3$ 矩陣前兩列線性獨立、第三列是前兩列之和,秩為 2,零核一維——方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有一條直線的解。 $2\times5$ 矩陣秩最多 2,零核至少 3 維。

秩決定方程組有解與否、解的自由度,也是資料壓縮(低秩近似、SVD)與推薦系統矩陣分解背後的概念。

例題

求矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 的秩 (rank)。

看解法與答案

秩 = 列梯形中非零列的數目 = 線性獨立的列數。觀察:第三列 $= (1)\cdot$ 第一列 $+ (1)\cdot$ 第二列,是前兩列的線性組合,對秩沒有貢獻。

列運算(第 1 行): $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}$ 、 $R_{3} \to R_{3} - 4R_{1}$ ,得 $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 0 & -12 & -10 \\ 0 & -12 & -10 \end{array}\right]$ 。

列運算(第 2 行): $R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ ,得 $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 0 & -12 & -10 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ 。

列梯形中非零列有 $2$ 列,所以 $\text{rank}A = 2$ 。

答案:

2

用在哪裡

金融市場是否完備看報酬矩陣的秩:未來有 3 種情境卻只有 2 種可交易資產,秩 2 小於 3,總有一種情境的風險避不掉。
資料使用者對電影的評分矩陣近似低秩,串流平台用幾十個潛在因子就能猜出你沒看過的片子會給幾顆星。

插畫

學習路徑

先學會

高斯消去法大一

學完可以接著學

向量空間與子空間大一

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