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Gram–Schmidt

大一 · 線性代數

觀念

xy-10123-0.500.511.522.5v₁ = u₁v₂proju₂ = v₂ − proj

Gram–Schmidt 過程把任一組線性獨立向量改造成兩兩正交(再單位化就是標準正交)的向量組,且生成同一個子空間。做法是依序「扣掉在前面已正交化好的向量 ui\mathbf{u}_i 上的投影」:u2=v2−v2⋅u1u1⋅u1u1\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1 第三個向量扣掉在 u1\mathbf{u}_1 與 u2\mathbf{u}_2 上的投影,依此類推。

算例:v1=(1,1,0)\mathbf{v}_1 = (1,1,0)、v2=(1,0,1)\mathbf{v}_2 = (1,0,1)。u1=v1\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,u2=(1,0,1)−12(1,1,0)=(12,−12,1)\mathbf{u}_2 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1);驗算 u1⋅u2=0\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2 = 0。

為什麼要正交基底?在標準正交基底下座標就是內積(正交基底則是內積再除以長度平方),投影公式簡化、數值穩定。它等價於 QR 分解,是最小平方法、特徵值演算法 (QR 演算法)、正交多項式(Legendre)的基礎。

例題

對 v1=(1, 3, 3)\mathbf{v}_1 = (1,\ 3,\ 3)、v2=(3, −3, −1)\mathbf{v}_2 = (3,\ -3,\ -1) 做 Gram–Schmidt 正交化,取 u1=v1\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,求 u2\mathbf{u}_2(不必單位化;填有序組,分數用最簡分數)。

看解法與答案

公式:從 v2\mathbf{v}_2 扣掉它在 u1\mathbf{u}_1 上的投影,u2=v2−v2⋅u1u1⋅u1u1\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \dfrac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1。

算兩個內積:v2⋅u1=(3)(1)+(−3)(3)+(−1)(3)=−9\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1 = (3)(1) + (-3)(3) + (-1)(3) = -9,u1⋅u1=19\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1 = 19,係數 −919\dfrac{-9}{19}。

投影向量:−919⋅(1, 3, 3)=(−919, −2719, −2719)-\frac{9}{19}\cdot(1,\ 3,\ 3) = (-\frac{9}{19},\ -\frac{27}{19},\ -\frac{27}{19})。

相減:u2=(3, −3, −1)−(−919, −2719, −2719)=(6619, −3019, 819)\mathbf{u}_2 = (3,\ -3,\ -1) - (-\frac{9}{19},\ -\frac{27}{19},\ -\frac{27}{19}) = (\frac{66}{19},\ -\frac{30}{19},\ \frac{8}{19});驗算 u2⋅u1=0\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_1 = 0。

答案: (6619,−3019,819)(\frac{66}{19}, - \frac{30}{19}, \frac{8}{19})

用在哪裡

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