泰勒與麥克勞林展開

泰勒展開 (Taylor expansion) 用多項式逼近函數:在 $x = a$ 附近,只要泰勒級數收斂到 $f$(下面的常用函數在各自的收斂範圍內都成立) $$f(x) = \sum_{k\ge0}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ 每一項係數由該階導數決定;只取到有限項時要加上餘項 $R_n(x)$;$a = 0$ 時叫麥克勞林級數 (Maclaurin series)。

五個必背:$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots$(這三個對所有實數 $x$ 成立)、$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$($-1<x\le1$)、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$($|x|<1$)。要 $e^{2x}$ 的 $x^3$ 係數,把 $u = 2x$ 代進去:$\frac{2^3}{3!} = \frac{4}{3}$。

泰勒展開是「用局部資訊猜全貌」:計算機算 $\sin$、$e^x$ 用的就是它;L'Hôpital 法則、誤差估計、物理的小角度近似($\sin\theta\approx\theta$)、歐拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 全都從這裡來。