二重積分

二重積分 (double integral) $\iint_R f\,dA$ 是「曲面下的體積」,把區域切成小方格、每格貢獻 $f\cdot\Delta A$ 加總。Fubini 定理說可以化成逐次積分:先對一個變數積(另一個當常數),再對另一個。

矩形區域最簡單:$\int_0^2\int_0^1 xy^2\,dx\,dy = \int_0^2\frac{y^2}{2}dy = \frac{4}{3}$;若被積函數是 $g(x)h(y)$ 可直接拆成兩個積分相乘。一般區域要先畫圖描述邊界,例如三角形 $0\le y\le x\le1$ 寫成 $\int_0^1\int_0^x f\,dy\,dx$;交換積分順序時邊界描述也要跟著改。

極坐標換元 $dA = r\,dr\,d\theta$ 處理圓形區域,著名應用是 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$。二重積分算質量、質心、聯合機率、面積,三重積分再往上推一維。