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三重積分

大二 · 微積分

觀念

三重積分 $\iiint_E f\,dV$ 把二重積分推到三維:逐次積三次,區域 $E$ 的描述是最難的部分。常用的坐標系:直角、圓柱坐標( $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ )、球坐標( $dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ ),依對稱性選擇。

應用:體積( $f=1$ )、質量與質心、轉動慣量、三維機率分布。球坐標算球體體積 $\frac{4}{3}\pi R^3$ 只需三行。

例題

計算 $\displaystyle\iiint_E x^{2}z\,dV$ ,其中 $E = [0,2]\times[0,2]\times[0,2]$ (填整數或最簡分數)。

看解法與答案

區域是長方體、被積函數是 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 各自的函數相乘,三重積分拆成三個單變數積分的乘積(Fubini):

$\int_0^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3}$ , $\int_0^{2} 1\,dy = 2$ , $\int_0^{2} z\,dz = 2$ 。

結果 $= \frac{8}{3}\times 2\times 2 = \frac{32}{3}$ 。

答案:

\frac{32}{3}

用在哪裡

投資三種資產同時下跌的機率是對三維聯合密度積分;資產再多就改用蒙地卡羅模擬,因為格點積分的計算量會爆炸。
物理密度不均的物體,質量是密度對體積的三重積分,火箭燃料艙的重心位置也靠它定出來。

插畫

三重積分:情境插畫

三重積分:例題插畫

學習路徑

先學會

二重積分大二

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