一致收斂|大學三年級|數學學院

觀念

函數列 $f_n\to f$ 逐點收斂只要求每個 $x$ 各自收斂;一致收斂 (uniform convergence) 要求 $\sup_x|f_n(x) - f(x)|\to0$ ,所有點同步到位。區別在量詞順序,跟連續 vs 一致連續如出一轍。

為什麼重要:一致收斂保留連續性,在有界閉區間上還允許極限與積分交換;逐點收斂不行—— $f_n(x) = x^n$ 在 $[0,1]$ 逐點收斂到不連續的函數。Weierstrass M-檢定是證明函數級數一致收斂的主要工具,Fourier 級數與冪級數理論都靠它。

$f_n(x) = x^n$ 在 $[0, \frac{3}{5}]$ 上逐點收斂到 $f(x) = 0$ 。求 $n = 2$ 時的 $\displaystyle\sup_{x\in[0,\frac{3}{5}]}|f_n(x) - f(x)|$ (填最簡分數)。

看解法與答案

$x^n$ 在 $[0, \frac{3}{5}]$ 遞增,最大值在右端點: $\sup = (\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$ 。

一般 $n$ 時 $\sup = (\frac{3}{5})^n\to 0$ ,所以在 $[0, \frac{3}{5}]$ 上「一致」收斂;但在 $[0,1)$ 上 $\sup = 1$ ,不一致。

答案:

\frac{9}{25}

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。