Lagrange 定理

子群 (subgroup) 是群裡自成一群的子集(對運算與反元素封閉)。Lagrange 定理:有限群 $G$ 的子群 $H$ 的階整除 $|G|$。證明思路:$H$ 的陪集 (coset) $gH$ 把 $G$ 切成大小都是 $|H|$ 的不重疊塊,塊數叫指數 $[G:H] = |G|/|H|$。

推論:質數階群一定是循環群且沒有非平凡子群;元素的階整除群的階;$g^{|G|} = e$(費馬、歐拉定理的源頭)。

注意反向不成立:$A_4$ 有 12 個元素卻沒有 6 階子群。但循環群是例外——$\mathbb{Z}_n$ 對每個因數 $d$ 恰有一個 $d$ 階子群,且 $d$ 階元素恰有 $\varphi(d)$ 個。

算例:12 階群不可能有 5 階子群;$\mathbb{Z}_{12}$ 中 4 階元素有 $\varphi(4) = 2$ 個(3 與 9)。

Lagrange 定理是有限群論的第一個結構定理,Sylow 定理、同態基本定理都是它的延伸。