三角形的心

直覺:三角形有幾個「中心」,看你用什麼標準:到三頂點等距的外心(外接圓圓心)、到三邊等距的內心(內切圓圓心)、三中線交點的重心(平衡點)。

規則:外心 $O$ = 三條中垂線的交點,銳角三角形 $\angle BOC = 2\angle A$,直角三角形的外心在斜邊中點(外接圓半徑 = 斜邊一半)。內心 $I$ = 三條內角平分線的交點,$\angle BIC = 90° + \frac{\angle A}{2}$;直角三角形兩股 $a$、$b$、斜邊 $c$,內切圓半徑 $r = \frac{a + b - c}{2}$;任何三角形面積 $= r \times$ 半周長。重心分中線為 $2 : 1$,重心與三頂點的連線把三角形分成三塊等面積。

算例:三邊 $3, 4, 5$:外接圓半徑 $2.5$、內切圓半徑 $1$。

為什麼重要:這些是幾何證明與高中三角形幾何(正弦定理用外接圓)的必備知識。