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全等三角形證明

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

要證兩條線段或兩個角相等,常見做法是找到包含它們的兩個三角形,證明全等,再用「對應邊、對應角相等」。

四個步驟:(1) 指定兩個三角形,頂點順序要對應;(2) 列出三組相等的條件,每組附理由(已知、共用邊、對頂角、平行線內錯角、中點、角平分線);(3) 說明是 SSS、SAS、ASA、AAS 或 RHS;(4) 由全等推出要的結論。常見漏洞:SAS 的角不是夾角、把 SSA 當成全等條件。

例: $AB$ 、 $CD$ 互相平分於 $O$ 。 $AO=BO$ 、 $CO=DO$ 、對頂角 $\angle AOC=\angle BOD$ ,由 SAS 得 $\triangle AOC\cong\triangle BOD$ ,所以 $AC=BD$ 。

線段 $AB$ 與 $CD$ 交於 $O$ ,且 $O$ 同時是 $AB$ 與 $CD$ 的中點。若 $\overline{AC} = 12$ ,證明 $\overline{BD} = 12$ 。

看參考證明

找兩個三角形:看 $\triangle AOC$ 與 $\triangle BOD$ 。

中點: $AO = BO$ 、 $CO = DO$ ;對頂角相等: $\angle AOC = \angle BOD$ 。

兩邊及其夾角對應相等,由 SAS 全等性質, $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ 。

全等三角形的對應邊相等,所以 $BD = AC = 12$ 。

結論:

\overline{BD} = 12

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