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弧長與扇形面積

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:扇形是圓的一塊「披薩」;圓心角佔 $360°$ 的幾分之幾,弧長就佔圓周的幾分之幾、面積就佔圓面積的幾分之幾。

規則:弧長 $= 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$ ;扇形面積 $= \pi r^2 \times \frac{\theta}{360} = \frac{1}{2} \times$ 弧長 $\times r$ ;扇形周長 = 弧長 + 兩條半徑。

算例: $r = 6$ 、 $\theta = 60°$ :弧長 $2\pi$ 、面積 $6\pi$ 、周長 $12 + 2\pi$ 。

為什麼重要:圓錐側面積(展開是扇形)、高中的弧度制(弧長 = $r\theta$ )都建立在這裡。

半徑 $11$ 、圓心角 $45°$ 的扇形面積是多少?(用 pi 表示,如 3pi 或 5pi/2)

看解法與答案

扇形是圓的一部分,佔的比例 = 圓心角 ÷ 360: $\dfrac{45}{360} = \frac{1}{8}$ 。

整個圓面積 $= \pi \times 11^2 = 121\pi$ 。

扇形面積 $= 121\pi \times \frac{1}{8} = \frac{121\pi}{8}$ 。

答案:

\frac{121 \pi}{8}

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