多項式長除法|國中8年級|數學學院

觀念

直覺: $17 \div 5 = 3 \ldots 2$ 的多項式版本:被除式 = 除式 × 商式 + 餘式,餘式的次數比除式低。

規則:直式排好(缺項補 0),每次用「被除式最高次 ÷ 除式最高次」得商的一項,乘回去相減,直到剩下的次數低於除式。

算例: $(2x^2 + 3x - 1) \div (x + 2)$ :商 $2x - 1$ 、餘 $1$ ,檢查 $(x+2)(2x-1) + 1 = 2x^2 + 3x - 1$ 。

為什麼重要:這是高中餘式定理、因式定理、綜合除法的前身。

用長除法計算 $(x^{3}+x^{2}+2) \div (x-1)$ ,餘式是什麼?(填多項式或數字,如 2x^2-x+3)

看解法與答案

直式排好(缺項補 0),每一步用「目前的最高次項 ÷ 除式的最高次項」得到商的一項:

第 1 步: $x^{3} \div x = x^{2}$ ; $x^{2}$ 乘回除式得 $x^{3}-x^{2}$ ,相減後剩 $2x^{2}+2$ 。

第 2 步: $2x^{2} \div x = 2x$ ; $2x$ 乘回除式得 $2x^{2}-2x$ ,相減後剩 $2x+2$ 。

第 3 步: $2x \div x = 2$ ; $2$ 乘回除式得 $2x-2$ ,相減後剩 $4$ 。

剩下的次數已低於除式,停止。商式 $= x^{2}+2x+2$ ,餘式 $= 4$ 。

驗算: $(x-1)(x^{2}+2x+2) + (4) = x^{3}+x^{2}+2$ 。

答案:

4

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