等差數列與級數

直覺:每次加同一個數的數列——每月固定存款、階梯高度——就是等差數列。它其實是「定義在正整數上的一次函數」。

規則:一般項 $a_n = a_1 + (n-1)d$;任兩項 $a_m$、$a_n$ 差了 $(n - m)$ 個公差;前 $n$ 項和 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$(首尾配對,高斯求和)。$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$,$1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$。

算例:$5, 8, 11, \ldots$ 的第 20 項是 $5 + 19 \times 3 = 62$,前 20 項和 $\frac{20(5 + 62)}{2} = 670$。

為什麼重要:數列是離散版的函數,高中的級數、數學歸納法、程式設計的迴圈都從這裡開始。