參數式與軌跡|高中12年級|數學學院

觀念

用參數 $t$ 同時描述 $x(t),y(t)$ ,可以表達圓 $(r\cos t,r\sin t)$ 、拋物運動 $(v t,\ h-\tfrac{1}{2}gt^2)$ 等隨時間變化的軌跡;消去 $t$ 得到一般方程式。

例: $x=2\cos t,y=2\sin t$ 消去 $t$ 得 $x^2+y^2=4$ 。

參數式是描述運動與曲線的自然方式,向量函數與物理運動學都用它。

把參數式 $x = -3 + t$ , $y = 3t$ 消去 $t$ ,寫成 $y = (x \text{ 的式子})$ 。只填等號右邊。

看解法與答案

由第一式 $x = -3 + t$ 解出 $t = x+3$ ,代入第二式:

$y = 3\left(x+3\right) = 3x+9$ 。

這是斜率 $3$ 的直線:參數式中 $t$ 每增加 1,點沿方向 $(1, 3)$ 移動。

答案:

3 x + 9

運動140 km/h 的直球用 $x=vt$ 、 $y=h-\frac12gt^2$ 描述,飛 18.44 公尺到本壘約 0.47 秒,不計轉速會下墜約 1.1 公尺。
電腦動畫軟體讓物件沿 $(x(t),y(t))$ 移動, $t$ 就是時間,每秒 60 格就代入 60 個 $t$ 值。
天文人造衛星的圓軌道寫成 $(r\cos\omega t,r\sin\omega t)$ ,國際太空站約 92 分鐘繞地球一圈。
工程齒輪的漸開線齒形用參數式定義,數控機床依參數 $t$ 一步步走刀切出齒面。

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