多項式函數的微分|高中12年級|數學學院

觀念

導數 $f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 是「瞬間變化率」,幾何上是切線斜率。對多項式不必每次算極限,用冪次法則 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 逐項微分,常數項導數為 0,加減與常數倍可以分開做。

例: $f(x)=x^3-2x^2+5x-1$ , $f'(x)=3x^2-4x+5$ , $f'(1)=4$ 。二階導數 $f''(x)=6x-4$ 是「變化率的變化率」。乘積可以先展開再微分。

導數是速度、邊際成本、成長率的統一語言,也是找極值、畫圖形與牛頓法的工具。

設 $f(x) = 3x^{3}-4x^{2}-2x-4$ ,求 $f'(0)$ ,也就是圖中曲線在 $x = 0$ 那一點的切線斜率。

看解法與答案

先微分(冪次法則逐項): $f'(x) = 3(3)x^2 + 2(-4)x + (-2) = 9x^{2}-8x-2$ 。

再代入 $x = 0$ : $f'(0) = 9(0)^{2} - 8(0) - 2 = -2$ 。

答案:

-2

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