三角方程式|高中11年級|數學學院

觀念

解 $\sin x=k$ 這類方程式,先用特殊角找一個解,再用對稱性與週期找出區間內所有解: $\sin$ 關於 $90^\circ$ 對稱、 $\cos$ 關於 $0^\circ$ 對稱、 $\tan$ 週期 $180^\circ$ 。

例: $0^\circ\le x<360^\circ$ , $\sin x=\dfrac{1}{2}$ 的解是 $30^\circ,150^\circ$ 。

這是分析波動何時到達某個值(潮位、交流電)的基本問題。

在 $0^\circ \le x < 360^\circ$ 範圍內解 $\tan x = -\sqrt{3}$ 。填所有解的度數(不加 °),用逗號分開。

看解法與答案

由特殊角找到一解: $\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$ ,所以 $x = 120^\circ$ 是一解。

$\tan$ 的週期是 $180^\circ$ : $x$ 與 $x + 180^\circ$ 。

在範圍內的解: $120^\circ,\ 300^\circ$ 。

答案:

120, 300

交通潮位 $h=2\sin(\frac{\pi}{6.2}t)+3$ 公尺,大船要水深 4 公尺以上才能進港,解 $\sin=\frac12$ 找出可進港的時段。
工程解 $155\sin(120\pi t)=110$ ,每個週期有兩個時刻電壓剛好 110V,調光器就是選在某個相位才導通。
天文一年中白晝長度近似正弦函數,解三角方程式就找得出台北白天超過 13 小時的日期區間。

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