餘式與因式定理|高中10年級|數學學院

觀念

餘式定理: $f(x)$ 除以 $x-a$ 的餘式等於 $f(a)$ 。理由很直接: $f(x)=(x-a)q(x)+r$ ,代 $x=a$ 左邊是 $f(a)$ 、右邊只剩 $r$ 。因式定理是它的特例: $f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式。

例: $f(x)=x^3-4x+1$ 除以 $x-2$ 的餘式 $=f(2)=8-8+1=1$ ,不必真的做除法。若 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x-2)$ ,餘式次數低於 2,可設為 $ax+b$ ,代 $x=1,2$ 得兩個方程式即可解。

這兩個定理把「整除」問題變成「代入求值」問題,是解高次方程式、因式分解與多項式函數零點分析的核心。

已知 $x-1$ 是 $f(x) = x^{3}-4x^{2}-2x + k$ 的因式,求 $k$ 。

看解法與答案

因式定理: $x - a$ 是因式 $\Leftrightarrow f(a) = 0$ 。這裡 $a = 1$ ,所以要 $f(1) = 0$ 。

代入: $f(1) = (1)^3 + (-4)(1)^2 + (-2)(1) + k = 1 - 4 - 2 + k$ 。

前三項合起來是 $-5$ ,令 $-5 + k = 0$ ,得 $k = 5$ 。

答案:

5

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