歸納法證求和公式|高中10年級|數學學院

觀念

用數學歸納法證求和公式 $P(n)$ 有固定格式:(1) 起始: $n=1$ 時左右兩邊各算出數值,相等;(2) 歸納假設:設 $n=k$ 時公式成立;(3) 歸納步驟:在假設的等式兩邊加上第 $k+1$ 項,把右邊化簡成公式在 $n=k+1$ 時的樣子;(4) 結論:由數學歸納法,對所有正整數成立。

關鍵在第 (3) 步:先寫出目標(把 $n=k+1$ 代進右邊),再對著目標化簡,常用提公因式。常見漏洞是把要證的 $P(k+1)$ 當已知來用。

例: $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ 。 $n=1$ 時兩邊都是 $1$ ;設 $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$ ,加上 $2k+1$ 得 $k^2+2k+1=(k+1)^2$ ,成立。

例題

用數學歸納法證明:對所有正整數 $n$ , $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 。

看參考證明

起始步驟: $n=1$ 時,左邊 $=1$ ,右邊 $=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$ ,公式成立。

歸納假設:設 $n=k$ 時成立,即 $1^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ 。

兩邊加上第 $k+1$ 項 $(k+1)^2$ :左邊成為前 $k+1$ 項的和。

提出 $k+1$ : $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}$ 。

中括號 $=2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$ ,所以和 $=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ 。

結果 $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ 正是公式在 $n=k+1$ 的右邊;由數學歸納法,公式對所有正整數 $n$ 成立。

結論:

1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

對所有正整數

n

成立

用在哪裡

程式雙層迴圈第 $i$ 圈做 $i$ 次運算,總次數 $\frac{n(n+1)}{2}$ ;這個次數公式的正確性用歸納法證明。
金融階梯式存款第 $k$ 個月存 $1000k$ 元,一年本金合計 $1000\times\frac{12\times 13}{2}=78000$ 元。

插畫

學習路徑

先學會

數學歸納法高中 10 年級

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