對數|高中10年級|數學學院

觀念

對數回答「底數的幾次方等於這個數」:當 $b>0$ 、 $b\ne1$ 、 $N>0$ 時, $\log_b N=k \Leftrightarrow b^k=N$ 。它是指數的反運算,所以指數律翻譯過來就是對數律: $\log(MN)=\log M+\log N$ 、 $\log\dfrac{M}{N}=\log M-\log N$ 、 $\log M^k=k\log M$ 。換底公式 $\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$ 讓任何底都能用計算機算。

例: $\log_2 32=5$ ; $\log_4 8=\dfrac{3}{2}$ (都化成 2 的次方);已知 $\log2=a,\log3=b$ 則 $\log 12=2a+b$ 、 $\log 5=1-a$ 。解對數方程式要記得真數必須為正。

對數把乘法變加法、把巨大數字壓縮成可讀的尺度:pH 值、分貝、地震規模、複利年數、演算法複雜度都用它。

例題

已知 $\log 2 = a$ 、 $\log 3 = b$ ,用 $a, b$ 表示 $\log \frac{1}{5}$ 。

看解法與答案

把真數拆成 $2, 3, 10$ 的乘積(5 寫成 $10 \div 2$ ): $\frac{1}{5} = 2^{1} \cdot 3^{0} \cdot 10^{-1}$ 。

用 $\log(MN) = \log M + \log N$ 、 $\log M^k = k\log M$ : $\log \frac{1}{5} = (1)\log 2 + (-1)\log 10$ 。

代入 $\log 2 = a$ 、 $\log 3 = b$ 、 $\log 10 = 1$ : $\log \frac{1}{5} = a-1$ 。

答案:

a - 1

用在哪裡

化學pH 是氫離子濃度取負對數:檸檬汁 pH 約 2、清水 7,氫離子濃度相差 $10^5$ 倍。
物理分貝每加 10 能量乘 10 倍:捷運車廂 80 分貝比圖書館 40 分貝強了 $10^4$ 倍。
地理地震規模每差 1 級釋放能量約差 $10^{1.5}\approx32$ 倍,921 大地震規模 7.3 比 6.3 的地震多約 32 倍能量。
程式二元搜尋 100 萬筆資料最多比 $\lceil\log_2 10^6\rceil=20$ 次,這就是 $O(\log n)$ 的意思。

插畫

學習路徑

先學會

指數方程式高中 10 年級

學完可以接著學

互動練習在本機版

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。