指數對數函數圖形|高中10年級|數學學院

觀念

$y=a^x$ 恆正、過 $(0,1)$ , $a>1$ 時遞增、 $0<a<1$ 時遞減; $y=\log_a x$ 是它對 $y=x$ 的鏡射,定義域 $x>0$ 、過 $(1,0)$ 。兩者互為反函數,所以 $a^{\log_a x}=x$ 。

例: $2^x$ 與 $\log_2 x$ 的圖形對稱於直線 $y=x$ 。

圖形幫助判斷指數、對數不等式的方向,也是理解成長率與對數尺度的基礎。

如圖,對數函數 $y = \log_a x$ 的圖形通過點 $\left(\frac{1}{4},\ 2\right)$ 。求底數 $a$ (可為分數)。

看解法與答案

$\log_a \frac{1}{4} = 2$ 等價於 $a^{2} = \frac{1}{4}$ ,所以 $a = \frac{1}{2}$ 。

對數圖形就是指數圖形對 $y = x$ 的鏡射:點 $(\frac{1}{4}, 2)$ 對應到 $y = a^x$ 上的 $(2, \frac{1}{4})$ 。

答案:

\frac{1}{2}

投資看長期股價要用對數座標: $\log$ 把 100 漲到 200 與 1000 漲到 2000 畫成一樣高,翻倍就是翻倍。
醫療疫情初期確診數畫在對數座標上,指數成長變成直線,由斜率就能換算出倍增天數(縱軸取 $\log$ 時,倍增天數 $=\dfrac{\log2}{\text{斜率}}$ )。
物理電容放電電壓 $V_0e^{-t/RC}$ 是遞減的指數曲線,經過一個 $RC$ 時間剩約 37%。

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