分數指數與指數律|高中10年級|數學學院

觀念

指數原本只對正整數有意義( $a^3=aaa$ );底數 $a>0$ 時,為了讓指數律 $a^m a^n=a^{m+n}$ 、 $(a^m)^n=a^{mn}$ 永遠成立,我們「定義」 $a^0=1$ 、 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ 、 $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ 、 $a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m$ 。

例: $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$ ; $\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}=a^{1/2+1/3}=a^{5/6}$ 。算這類題的訣竅是先把所有東西化成同一個底數的次方,再只對指數做加減乘除。

分數指數讓根號運算變成指數運算,是指數函數、對數、複利與半衰期計算的基礎。

例題

設 $a > 0$ ,把 $\dfrac{\sqrt[3]{a^{2}} \cdot a}{a}$ 化成 $a^{p}$ 的形式,填 $p$ (最簡分數)。

看解法與答案

把根號都改寫成分數指數( $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ ): $\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}}$ 、 $a = a^{1}$ 。

同底相乘指數相加、相除指數相減: $p = \frac{2}{3} + 1 - 1$ 。

通分(分母 $3$ ): $\frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$ ,所以 $p = \frac{2}{3}$ 。

答案:

\frac{2}{3}

用在哪裡

金融年報酬 21% 換成月報酬要開 12 次方根: $1.21^{1/12}\approx1.016$ ,每月約 1.6%。
音樂鋼琴相鄰半音的頻率比是 $2^{1/12}\approx1.0595$ ,連升 12 個半音剛好頻率翻倍成高八度。
天文克卜勒第三定律 $T\propto a^{3/2}$ :火星軌道半徑約 1.52 天文單位,公轉週期 $1.52^{3/2}\approx1.88$ 年。

插畫

講解影片

學習路徑

先學會

指數律國中 7 年級
平方根與根式化簡國中 8 年級

學完可以接著學

指數方程式高中 10 年級

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