指數對數應用|高中10年級|數學學院

觀念

凡是「每段時間乘上固定倍率」的現象都是指數模型:複利 $P(1+r)^n$ 、半衰期 $M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$ 、人口與細菌成長。問「多少年後變幾倍」就是解指數方程式,兩邊取 $\log$ 把指數拉下來: $(1+r)^n\ge2 \Rightarrow n\ge\dfrac{\log2}{\log(1+r)}$ 。

例:年利率 5% 要翻倍, $n\ge\dfrac{0.3010}{0.0212}\approx14.2$ ,至少 15 年(這就是「72 法則」的由來)。 $2^{100}$ 的位數 $=\lfloor100\log2\rfloor+1=31$ 。

這些模型是理財、醫學劑量、碳定年與資訊量計算的基本語言。

例題

某放射性物質的半衰期是 $2$ 年。一開始有 $320$ 公克,經過 $8$ 年後剩下多少公克?(可為分數或小數)

看解法與答案

每過一個半衰期剩一半: $8$ 年 $= 4$ 個半衰期。

剩下 $320 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{320}{16} = 20$ 公克。

答案:

20

用在哪裡

金融72 法則:年報酬 6% 約 $72/6=12$ 年翻倍,精確值是 $\log2/\log1.06\approx11.9$ 年。
化學碳-14 半衰期 5730 年,骨頭裡的碳-14 只剩 25% 代表過了兩個半衰期,約 11,460 年前。
生活通膨每年 2% 時,現在 100 萬的購買力約 35 年後剩一半,因為 $1.02^{35}\approx2$ 。
投資對數報酬可以相加:股價 100 漲到 110 再跌回 100,兩天的對數報酬(用以 $e$ 為底的自然對數 $\ln$ 計算)是 $+9.53\%$ 與 $-9.53\%$ ,合計剛好 0。

講解影片

學習路徑

先學會

對數高中 10 年級

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