指數方程式|高中10年級|數學學院

觀念

指數函數 $a^x$ ( $a>0,a\ne1$ )是一對一的,所以「底數相同則指數相等」: $a^{u}=a^{v}\Leftrightarrow u=v$ 。解指數方程式的第一步永遠是把兩邊化成同底。

例: $4^x=8 \Rightarrow 2^{2x}=2^3 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$ 。遇到 $3^{2x}-4\cdot3^x+3=0$ 這種形式,令 $t=3^x>0$ ,變成 $t^2-4t+3=0$ ,解出 $t=1,3$ 再換回 $x=0,1$ 。

化不成同底時就要用對數(下一個技能)。指數方程式是複利年數、半衰期、細菌倍增等「幾次才到」問題的數學形式。

解方程式 $125^{x} = 25$ ,求 $x$ (最簡分數)。

看解法與答案

兩邊都化成底數 $5$ : $125 = 5^{3}$ 、 $25 = 5^{2}$ 。

$(5^{3})^x = 5^{3x} = 5^{2} \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ 。

答案:

\frac{2}{3}

生物大腸桿菌約 20 分鐘分裂一次,從 1 個變 1024 個要解 $2^n=1024$ ,得 10 代,約 3 小時 20 分。
運動2026 世界盃 32 強起打淘汰賽,解 $2^n=32$ 得 $n=5$ ,要贏 5 輪才拿冠軍。
醫療碘-131 半衰期約 8 天,劑量剩 $\frac{1}{8}$ 要等多久? $(\frac12)^{t/8}=(\frac12)^3$ , $t=24$ 天。

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