連通性

大四 · 拓樸

觀念

連通 (connected):不能拆成兩個不相交的非空開集(子集用它自己的子空間拓樸來談開集)。 $\mathbb{R}$ 的連通子集恰是區間;連通集的連續像仍連通——這就是中間值定理的拓樸版本。路徑連通(任兩點可用連續曲線相連)蘊含連通,反向有反例(拓樸學家的正弦曲線)。

連通分支把空間切成「不可再分的塊」;在圖論、影像分割、流形分類中都是基本概念。

如圖(實心點 = 端點包含,空心點 = 不包含), $S = (0, 2) \cup (3, 5] \cup \{7\}\subset\mathbb{R}$ 。 $S$ 有幾個連通分支 (connected component)?

看解法與答案

$\mathbb{R}$ 的連通子集恰好是區間(含單點)。把 $S$ 拆成最大的區間塊:兩段在公共端點相接時,只要那個點屬於 $S$ (至少一邊是閉的),就黏成一個區間;端點兩邊都開,中間缺一個點,就斷成兩塊。孤立點自成一塊。

本題黏完的最大區間塊是 $(0, 2)$ 、 $(3, 5]$ 、 $\{7\}$ ,所以 $S$ 有 $3$ 個連通分支。

答案:

3

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。