集合等式證明|大學二年級|數學學院

觀念

證兩集合相等 $X=Y$ 的標準方法是雙包含法:先證 $X\subseteq Y$ (任取 $x\in X$ ,用定義推出 $x\in Y$ ),再證 $Y\subseteq X$ 。每一步都回到定義: $x\in A\cap B$ 是「 $x\in A$ 且 $x\in B$ 」, $x\in A\cup B$ 是「 $x\in A$ 或 $x\in B$ 」, $x\in A\setminus B$ 是「 $x\in A$ 且 $x\notin B$ 」。

遇到「或」要分情況。常見漏洞是只證一個方向,或用文氏圖代替證明。

例: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ 。 $x\notin A\cup B$ $\Leftrightarrow$ $x\notin A$ 且 $x\notin B$ ,每一步都可逆,兩個方向一次完成。

例題

用雙包含法證明集合等式: $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ 。

看參考證明

雙包含法:分別證明「左邊 $\subseteq$ 右邊」與「右邊 $\subseteq$ 左邊」。

( $\subseteq$ )任取 $x$ 屬於左邊:若 $x\in A$ ,則 $x$ 屬於 $A\cup B$ 與 $A\cup C$ ;

若 $x\in B\cap C$ ,則 $x\in B$ 且 $x\in C$ ,所以 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$ 。

( $\supseteq$ )任取 $x$ 屬於右邊。若 $x\in A$ ,已屬於左邊;

若 $x\notin A$ ,由 $x\in A\cup B$ 得 $x\in B$ ,由 $x\in A\cup C$ 得 $x\in C$ ,所以 $x\in B\cap C$ 。

兩邊互相包含,所以兩集合相等。

結論:

A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)

用在哪裡

交易選股條件「不是(虧損或高負債)」等於「不虧損且不高負債」,De Morgan 律讓篩選器條件能安全改寫。
資料資料庫把「A 且(B 或 C)」改寫成「(A 且 B)或(A 且 C)」來走索引,改寫正確靠集合分配律。

插畫

學習路徑

先學會

集合運算與冪集大二
命題邏輯與真值表大二

互動練習在本機版

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