同餘性質證明|大學三年級|數學學院

觀念

$a\equiv b\pmod m$ 的定義是 $m$ 整除 $a-b$ ,也就是 $a-b=mq$ ( $q$ 是整數)。證同餘性質的固定套路:把已知同餘改寫成「差是 $m$ 的倍數」,把要證的差用代數拆成已知差的組合,再說明它是 $m$ 的倍數。

常用拆法: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ; $ac-bd=c(a-b)+b(c-d)$ ;具體餘數題則寫 $a=mq+r$ 後展開。常見漏洞是直接把同餘號當等號亂移項,或沒說明係數是整數。

例: $a\equiv b\pmod 5\Rightarrow a+3\equiv b+3\pmod 5$ : $(a+3)-(b+3)=a-b=5q$ ,所以成立。

設 $a,b$ 是整數。證明:若 $a\equiv b \pmod{6}$ ,則 $a^2\equiv b^2 \pmod{6}$ 。

看參考證明

由同餘定義, $a\equiv b \pmod{6}$ 表示 $6$ 整除 $a-b$ ,設 $a-b=6q$ ( $q$ 是整數)。

平方差: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=6q(a+b)$ 。

$q(a+b)$ 是整數,所以 $6$ 整除 $a^2-b^2$ ,即 $a^2\equiv b^2 \pmod{6}$ 。

結論: 若

a\equiv b \pmod{6}

,則

a^2\equiv b^2 \pmod{6}

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