條件機率與獨立

條件機率 (conditional probability):$P(B)>0$ 時 $P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$,已知 $B$ 發生,把樣本空間縮小到 $B$ 裡重新算比例。移項得乘法法則 $P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B)$,連抽不放回就是一路相乘。

獨立 (independent) 的定義是 $P(A\cap B) = P(A)P(B)$,$P(B)>0$ 時等價於 $P(A\mid B) = P(A)$——知道 $B$ 不改變對 $A$ 的判斷。注意互斥不是獨立:互斥且機率皆正的事件,一個發生另一個就不可能,反而強烈相關。

算例:5 紅 3 藍不放回抽兩顆,兩紅 $= \frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7} = \frac{5}{14}$;放回則 $\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}$。

條件機率是貝氏定理、Markov 鏈、隱藏 Markov 模型、所有統計推論的基石;「獨立」假設則是大數法則與中央極限定理的前提。