二階非齊次方程|大學二年級|數學學院

觀念

$ay'' + by' + cy = f(x)$ 的通解 = 齊次解 + 一個特解。特解用待定係數法: $f$ 是多項式、指數、正弦餘弦或其乘積時,猜同型式的特解代入比較係數;若猜的形式撞到齊次解,要乘上 $x^s$ , $s$ 取讓它不再是齊次解的最小次數(撞到重根時要乘 $x^2$ ;這就是共振)。一般的 $f$ 用參數變異法。

$y'' + y = \cos x$ 的特解是 $\frac{x}{2}\sin x$ ,振幅隨時間線性增大——這就是共振現象的數學解釋,橋樑與音叉的故事都從這條式子來。

例題

用待定係數法求 $y'' -4y' +3y = 9x-21$ 的特解 $y_p$ 。右邊是一次多項式,設 $y_p = \alpha x + \beta$ ,填 $y_p$ 的式子(如 2x - 3)。

看解法與答案

$y_p = \alpha x + \beta$ , $y_p' = \alpha$ 、 $y_p'' = 0$ 。代入左邊:

$0 -4\alpha +3(\alpha x + \beta) = 3\alpha x + (-4\alpha +3\beta)$

比較 $x$ 的係數: $3\alpha = 9$ , $\alpha = 3$ ;常數項: $-12 +3\beta = -21$ , $\beta = -3$ 。

所以 $y_p = 3x-3$ 。

答案:

3 x - 3

用在哪裡

工程地震時建築物受週期性地面運動驅動,特解顯示驅動頻率接近結構自然頻率時振幅暴增,這就是共振。
商業Phillips 穩定化政策模型把政府支出當成外力項,非齊次方程的特解顯示政策回應過猛反而放大景氣波動。

插畫

學習路徑

先學會

二階常係數齊次方程大二

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