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一階線性方程

大二 · 微分方程

觀念

一階線性微分方程的標準形是 $y' + P(x)y = Q(x)$ 。解法的靈魂是積分因子 (integrating factor) $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ 兩邊乘 $\mu$ 後,左邊恰好變成 $(\mu y)'$ (乘積法則倒過來),於是 $\mu y = \int\mu Q\,dx + C$ 。

算例: $y' + 2y = 6$ , $\mu = e^{2x}$ , $(e^{2x}y)' = 6e^{2x}$ , $e^{2x}y = 3e^{2x} + C$ , $y = 3 + Ce^{-2x}$ ——不論初值,長期都趨向平衡值 3。 $y' + \frac{2}{x}y = x$ 在 $x>0$ 的區間上,積分因子是 $e^{2\ln x} = x^2$ 。 $xy' + y = 4x$ 左邊本來就是 $(xy)'$ 。

解的結構「特解 + 齊次解 $Ce^{-\int P}$ 」是線性方程的共同特徵。RC 電路充電、混合問題(鹽水濃度)、牛頓冷卻、藥物在體內的濃度,全是一階線性方程。

例題

解一階線性微分方程 $y' +y = 5$ , $y(0) = 0$ ,求 $y(x)$ (如 2 + 3e^(-x))。

看解法與答案

積分因子 (integrating factor) $\mu = e^{\int 1\,dx} = e^{x}$ 。乘上去: $(e^{x}y)' = 5e^{x}$ 。

積分: $e^{x}y = 5e^{x} + C$ , $y = 5 + Ce^{-x}$ 。

代 $y(0) = 0$ : $0 = 5 + C$ , $C = -5$ 。 $y = 5 -5e^{-x}$ ;長期趨向平衡值 $5$ 。

答案:

5 - 5 e^{- x}

用在哪裡

金融每月固定投入 $m$ 元的帳戶滿足 $\frac{dA}{dt}=rA+m$ ,是一階線性方程,解出來就是定期定額的終值。
物理RC 電路充電 $RC\frac{dV}{dt}+V=V_s$ 是一階線性方程,電壓按 $1-e^{-t/RC}$ 上升,算得出閃光燈要充幾秒。
環境湖泊每天流入固定量汙染物又按比例流出,一階線性方程算出濃度會逼近哪個值、多久降一半。

插畫

一階線性方程:情境插畫

一階線性方程:例題插畫

學習路徑

先學會

分離變數法大二
分部積分大一

學完可以接著學

二階常係數齊次方程大二

互動練習在本機版

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