線性變換矩陣|大學一年級|數學學院

觀念

線性變換 (linear transformation) $T$ 保持加法與純量乘法: $T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u})+bT(\mathbf{v})$ 。關鍵事實: $T$ 完全由它對基底向量的作用決定——標準矩陣的第 $j$ 行就是 $T(\mathbf{e}_j)$ 。

算例:逆時針轉 $90^\circ$ 把 $(1,0)\to(0,1)$ 、 $(0,1)\to(-1,0)$ ,矩陣 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 。一般旋轉 $\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$ ;對 $x$ 軸鏡射 $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ ; $T(x,y) = (2x+y, x-y)$ 的矩陣是 $\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}$ 。

合成變換 = 矩陣相乘(先做的在右邊),這就是矩陣乘法的定義來源。電腦圖學的所有旋轉縮放投影、物理的座標轉換、訊號處理的 Fourier 轉換,全是線性變換。

例題

求平面上逆時針旋轉 $270^\circ$ 的線性變換的標準矩陣(填矩陣)。

看解法與答案

旋轉矩陣 $\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ ,代 $\theta = 270^\circ$ 得 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 。

檢查: $(1,0)$ 轉 $270^\circ$ 後是 $(0,-1)$ ,就是第一行。

答案:

\left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]

用在哪裡

投資把 3 檔股票的部位換算成大盤、產業、個股三種風險曝險,就是乘上一個曝險矩陣的線性變換。
電腦以照片中心為原點,旋轉 90 度或水平翻轉都是線性變換,可寫成 2×2 矩陣作用在每個像素座標上;修圖軟體再搭配平移,寫成 3×3 的齊次座標矩陣。

插畫

學習路徑

先學會

矩陣乘法大一
平面向量高中 11 年級

互動練習在本機版

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