C-R 方程與解析|大學三年級|數學學院

觀念

複變函數 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 的可微比實函數嚴格得多:極限要從各個方向逼近都相同;在一個開區域內處處可微,叫解析 (analytic)。這導出 Cauchy–Riemann 方程: $u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x$ 在開區域內偏導連續且處處滿足 C-R ⟺ 在該區域解析。

算例: $z^2 = (x^2-y^2) + 2xyi$ , $u_x = 2x = v_y$ 、 $u_y = -2y = -v_x$ ,解析; $\bar z = x - iy$ : $u_x = 1\ne v_y = -1$ ,處處不解析; $|z|^2$ 只在原點滿足 C-R,所以只在原點可微,任何地方都不解析(沒有一整個鄰域可微)。經驗法則:含 $\bar z$ 、 $|z|$ 、 $\text{Re}\,z$ 的通常不解析。

解析函數的 $u, v$ 都是調和函數( $\nabla^2u = 0$ ),給定 $u$ 可用 C-R 積分出共軛調和函數 $v$ (差一個常數): $u = x^2 - y^2$ 配 $v = 2xy$ , $u = e^x\cos y$ 配 $v = e^x\sin y$ 。

解析性是複分析一切奇蹟的來源:Cauchy 積分定理、無窮次可微、冪級數展開、留數定理;物理上 $u, v$ 的等高線互相正交,描述二維穩態流場與靜電場。

例題

下列哪個函數在整個複數平面上解析 (analytic)?

① $f(z) = z^2$
② $f(z) = \bar{z}$
③ $f(z) = \text{Re}\,z$
④ $f(z) = |z|^2$

看解法與答案

判準: $f = u + iv$ 解析 ⟺ 偏導連續且滿足 Cauchy–Riemann 方程 $u_x = v_y$ 、 $u_y = -v_x$ 。

$f(z) = z^2$ : $u = x^2-y^2$ 、 $v = 2xy$ : $u_x = 2x = v_y$ 、 $u_y = -2y = -v_x$ ,處處成立。所以選 ①。

其他: $f(z) = \text{Re}\,z$ $u = x$ 、 $v = 0$ : $u_x = 1\ne v_y = 0$ ; $f(z) = \bar{z}$ $u = x$ 、 $v = -y$ : $u_x = 1 \ne v_y = -1$ ; $f(z) = |z|^2$ $u = x^2+y^2$ 、 $v = 0$ : $u_x = v_y$ 即 $2x = 0$ , $u_y = -v_x$ 即 $2y = 0$ ,兩式同時成立只在原點,只在原點滿足 C-R。

答案:

f(z) = z^2

用在哪裡

金融Carr–Madan 傅立葉選擇權定價把特徵函數延拓到複平面,需要它在一條帶狀區域解析(滿足 C-R)才能平移積分路徑。
物理解析函數的實部與虛部都滿足拉普拉斯方程,茹可夫斯基變換把圓映成翼型,流體力學用它設計機翼截面。

插畫

學習路徑

先學會

極式與棣美弗定理大三
偏導數大二

學完可以接著學

Cauchy 積分公式大三

互動練習在本機版

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