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Cauchy 積分公式

大三 · 複變

觀念

ReIma = −2C 外C:|z + 1| = 3,逆時針a 在 C 內:∮ f(z)/(z − a) dz = 2πi·f(a)-4-3-2-112-3-2-1123O

Cauchy 積分定理:ff 在簡單閉曲線 CC 內及其上解析,則 ∮Cf dz=0\oint_C f\,dz = 0。Cauchy 積分公式進一步給出:CC 逆時針繞一圈、aa 在 CC 內時 f(a)=12πi∮Cf(z)z−adzf(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz 解析函數在區域內的值完全由邊界決定,而且逐階微分 f(n)(a)=n!2πi∮Cf(z)(z−a)n+1dzf^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz——解析函數自動無窮次可微。

推論包括 Liouville 定理(有界整函數是常數)與代數基本定理的三行證明;它也是留數定理的前身。

例題

CC:∣z+1∣=3|z +1| = 3,逆時針一圈。求 ∮Ccos⁡(πz)z+3 dz\displaystyle\oint_C \frac{\cos(\pi z)}{z +3}\,dz(答案可含 pi、i、e,如 2pii*e^2)。

看解法與答案

f(z)=cos⁡(πz)f(z) = \cos(\pi z) 是整函數(處處解析),奇點 z=−3z = -3 到圓心 −1-1 的距離 2<32 < 3,在 CC 內。

代入 a=−3a = -3:f(−3)=cos⁡(π(−3))=−1f(-3) = \cos(\pi (-3)) = -1。

Cauchy 積分公式:∮Cf(z)z−adz=2πi f(−3)=2πi⋅(−1)=−2iπ\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz = 2\pi i\,f(-3) = 2\pi i\cdot \left(-1\right) = - 2 i \pi。

答案: −2πi- 2 \pi i

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