線積分|大學二年級|數學學院

觀念

線積分 (line integral) 沿一條曲線累積:純量場的 $\int_C f\,ds$ (例如細線的質量)與向量場的 $\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ (例如力沿路徑做的功)。參數化曲線後都化成單變數積分。

保守場( $\mathbf{F} = \nabla\phi$ )的線積分只看起點與終點,與路徑無關——這是微積分基本定理的推廣;Green 定理再把封閉曲線的線積分與區域的二重積分接起來,通往 Stokes 與 Gauss 散度定理。

例題

$\mathbf{F}(x,y) = \left(x-y,\ -2x+y\right)$ 。如圖, $C$ 是從 $A(-2, 1)$ 走直線到 $B(-2, 4)$ 、再走直線到 $C_1(4, 4)$ 的折線。求 $\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ (填整數或最簡分數)。

看解法與答案

$\frac{\partial P}{\partial y} = -1 \ne \frac{\partial Q}{\partial x} = -2$ ,不是保守場,要逐段參數化。

第一段 $\mathbf{r}(t) = (-2, 1) + t\cdot(0, 3)$ , $\mathbf{r}' = (0, 3)$ ( $0\le t\le 1$ )。代入得 $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = 15 +9t$ , $\int_0^1 (15 +9t)\,dt = 15 + \frac{9}{2} = \frac{39}{2}$ 。

第二段 $\mathbf{r}(t) = (-2, 4) + t\cdot(6, 0)$ , $\mathbf{r}' = (6, 0)$ 。 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = -36 +36t$ , $\int_0^1 (-36 +36t)\,dt = -36 + \frac{36}{2} = -18$ 。

合計 $\frac{39}{2} + (-18) = \frac{3}{2}$ 。

答案:

\frac{3}{2}

用在哪裡

交易策略的累積損益是持股部位沿價格路徑的積分 $\int H\,dS$ :每天的持股數乘當天的價格變動,再全部加總。
物理力沿路徑做的功是線積分 $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ,單車逆風爬坡的總耗能就是沿路線一段段累加。

插畫

學習路徑

先學會

梯度與方向導數大二
參數式切線大一

學完可以接著學

Cauchy 積分公式大三

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