L'Hôpital 法則

遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定型,L'Hôpital 法則說:$$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(前提:$f, g$ 在該點附近可微、$g'(x)\ne0$,而且右邊極限存在)。直覺是:兩個都趨近 0 的量,比值由它們「趨近的速度」決定,而速度就是導數。

算例:$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim\frac{3\cos3x}{1} = 3$;$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ 要用兩次:$\frac{\sin x}{2x}\to\frac{\cos x}{2}\to\frac{1}{2}$。

常見錯誤:不是不定型也硬用(會得到錯答案);$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$ 要先改寫成分式或取對數。它其實是泰勒展開的影子:$\sin x\approx x$、$1-\cos x\approx\frac{x^2}{2}$ 就能直接看出答案。