面積與旋轉體體積

兩曲線之間的面積:$A = \int_a^b(\text{上} - \text{下})dx$,先解交點決定 $a, b$,再判斷哪條在上面。

旋轉體體積用圓盤法 (disk method):把區域繞 $x$ 軸轉,每一片薄圓盤半徑 $f(x)$、厚度 $dx$,$V = \pi\int_a^b[f(x)]^2dx$。兩曲線之間則是墊圈法 $\pi\int(R^2 - r^2)dx$;繞 $y$ 軸可用殼層法 $2\pi\int xf(x)dx$。

算例:$y = x^2$ 與 $y = 2x$ 交於 $0, 2$,面積 $\int_0^2(2x - x^2)dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。$y = \sqrt{x}$($0\le x\le4$)繞 $x$ 軸:$V = \pi\int_0^4 x\,dx = 8\pi$。

核心思想是「切片 → 每片的量 → 積分加總」,同一套思維能算弧長、表面積、質心、流體壓力。