環與體

大三 · 抽象代數

觀念

環 (ring) 有加法與乘法兩個運算:加法成交換群、乘法結合、分配律成立,如 $\mathbb{Z}$ 、多項式環、矩陣環。體 (field) 是乘法也「幾乎成群」的交換環——非零元素都有乘法反元素,如 $\mathbb{Q}$ 、 $\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{C}$ 、 $\mathbb{Z}_p$ ( $p$ 質數)。 $\mathbb{Z}_6$ 不是體: $2\cdot3 = 0$ 有零因子。

有限體 $GF(p^n)$ 的元素個數必是質數冪; $GF(2^8)$ 是 AES 加密的運算場所,Reed–Solomon 糾錯碼(QR code、CD)也建在有限體上。體的擴張理論解釋了尺規作圖三大不可能,以及一般五次方程沒有根式公式解。

例題

環 $\mathbb{Z}_{12}$ 有幾個可逆元素 (unit)?

看解法與答案

$a$ 在 $\mathbb{Z}_n$ 可逆 ⟺ $\gcd(a, n) = 1$ ,個數是 Euler 函數 $\varphi(n)$ 。

$12 = 2^{2}\cdot3$ , $\varphi(12) = 12\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 4$ 。這些可逆元素在乘法下成群 $\mathbb{Z}_{12}^\times$ 。

答案:

4

用在哪裡

金融券商 App 與網銀傳輸用 AES 加密,每一輪的混欄運算是在 256 個元素的有限體 $GF(2^8)$ 上做乘法。
通訊QR Code 的 Reed–Solomon 糾錯在有限體 $GF(2^8)$ 上運算,最高等級下汙損約三成仍能讀出內容。

插畫

學習路徑

先學會

群的判定大三
模反元素大三

互動練習在本機版

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