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三角形邊角關係

國中 8 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:兩點之間直線最短,所以三角形任兩邊之和一定大於第三邊;而且角愈大,它張開的對邊就愈長。

規則:第三邊 $x$ 滿足 $|a - b| < x < a + b$ ;大角對大邊、大邊對大角;等腰三角形判斷腰長時要用邊長條件排除不合的情形。

算例:兩邊 5 和 8,第三邊整數值有 $4, 5, \ldots, 12$ 共 9 種;等腰三角形兩邊 3 和 7,腰只能是 7,周長 17。

為什麼重要:它是判斷圖形「存不存在」的基本檢查,也是後續不等式與最短路徑問題的幾何版本。

下列哪一組長度可以構成三角形?

看解法與答案

判斷方法:三角形任兩邊之和大於第三邊;只要檢查「兩短邊之和是否大於最長邊」。

檢查 $9, 9, 9$ : $9 + 9 = 18 > 9$ ,成立。

其他組不行:① $9 + 9 = 18$ 只等於最長邊(會壓成一直線);② $9 + 9 = 18 < 20$ ;④ $1 + 9 = 10 < 12$ 。

所以選 ③ $9, 9, 9$ 。

答案:

9, 9, 9

交通導航顯示從起點經過 A 點再到 B 點共 12 公里,起點到 B 點的直線距離不會超過 12 公里;三點不在同一直線上時一定小於 12 公里,這就是兩邊和大於第三邊。
通訊網路封包繞經第三個節點反而比直連快,表示延遲違反三角不等式,工程師就會去查直連線路。
生活拿 30、50、90 公分三根木條想釘成三角架是做不起來的,因為 $30 + 50 < 90$ 。

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